在 $\mathbb{E}^3$ 中, 定义算子 $[,]$ 为

\[[\xi,\eta]:=\xi\times\eta,\quad\forall\ \xi,\eta\in\mathbb{E}^3.\]

这个算子是反对称双线性的. 容易验证满足下面的雅可比恒等式

\[[\xi,[\eta,\zeta]]+[\eta,[\zeta,\xi]]+[\zeta,[\xi,\eta]]=0,\forall\ \xi,\eta,\zeta\in\mathbb{E}^3.\]

[Def] 一般的, 对于向量空间 $V$, 如果存在一个反对称双线性算子 $[,]$, 满足上面的雅可比恒等式, 则称 $(V,[,])$ 为李代数. 其中 $[,]$ 常被称为换位子.

除了上面的 $(\mathbb{R}^3,[,])$, 还有一些简单例子.

例 2. 记 $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ 为所有 $n$ 阶实方阵组成的集合. 若 $X,Y\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, 令 $[X,Y]:=XY-YX$, 则 $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ 在此运算下是一个李代数.

一般的, 若 $V$ 为某个线性算子的代数, 则 $V$ 在如下定义的运算

\[[A,B]:=AB-BA\]

下成为一个李代数.

References:

现代几何学: 方法与应用(第一卷) 曲面几何、变换群与场.(第5版) [\$ 24, pp.164]

许明 译

William M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry. second edtion. P.152